孝感市雙峰中學(xué)
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利用“數(shù)形結(jié)合”思想 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力2
孝感市雙峰中學(xué)教師 孫德志
“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)的重要思想方法,貫穿整個初中階段,它是把抽象的數(shù)學(xué)符號語言和直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來,以便化抽象為直觀,化繁為簡,化難為易,啟迪思維,探索解題思路,從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識,達(dá)到事半功倍的效果。這一數(shù)學(xué)思想方法,解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題,并在解題過程中,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,是新課標(biāo)數(shù)學(xué)的目標(biāo)之一。
一、數(shù)軸的應(yīng)用,體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”,增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識
數(shù)軸把實數(shù)和最簡單的幾何圖形“點”有機(jī)結(jié)合起來,為“數(shù)形結(jié)合”奠定了堅實的基礎(chǔ),為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題搭建了一個方便的平臺。
例1:實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點如圖所示,則
a+|a+b|- -|b-c|=
分析:本題要化簡代數(shù)式,必須把數(shù)軸圖結(jié)合起來考慮,明確數(shù)軸上的數(shù)a、b、c的大小關(guān)系,然后用絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡。可見,在數(shù)軸的運用中,只有分析出題中字母的數(shù)量特征和關(guān)系,才能達(dá)到去掉絕對值符號而化簡的目的,從而增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新的意識。
二、直角坐標(biāo)系的建立,突出了“數(shù)形結(jié)合”,激活了學(xué)生的創(chuàng)新思維
平面直角坐標(biāo)系將有序?qū)崝?shù)對與平面上的點建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,為“數(shù)形結(jié)合”創(chuàng)造了條件,在函數(shù)圖象的有關(guān)問題的研究中得到充分的體現(xiàn)。
例2:設(shè)雙曲線y= 與直線y=-x+1相交于A、B,O為坐標(biāo)原點,則∠AOB是( )。
A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.銳角或鈍角
分析:直線y=-x+1的圖象位于一、二、四象限,是一條確定的直線,可畫出圖形。而y= 的圖象不確定,當(dāng)k>0時,圖象兩支位于一、三象限,此時A、B在第一象限,∠AOB為銳角;當(dāng)k<0時,圖象位于二、四象限,則∠AOB為鈍角,有兩種情形,應(yīng)選D。
通過畫圖分析,∠AOB的答案一目了然,使問題簡單化,激活了學(xué)生的思維,也有利于拓展學(xué)生的思維,提高學(xué)生探究問題的能力。
三、幾何、代數(shù)知識的綜合運用,擴(kuò)展了“數(shù)形結(jié)合”,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力
勾股定理的應(yīng)用既可把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形問題來解決,也可以把圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來處理,它本身就是數(shù)形結(jié)合的定理。
例3:在數(shù)軸上作出表示 的點。
分析:由于 = ,如圖,也可以作以3和1為直角邊的直角三角形的斜邊OA,在數(shù)軸正半軸上截取OB=OA的點B就是 所表示的點。
例4:如圖,有一塊直角三角形ABC紙板,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且點C落在點E處,則CD等于 。
分析:本題若直接在RtACD中
用勾股定理求CD是無法求得的,
因為只知道AC一邊的長。由題意知,
△ACD和△AED關(guān)于直線AD對稱,